Ley de los voltajes de Kirchhoff: M茅todo de Mallas Deja un comentario
En este post escribir茅 sobre la Ley de los voltajes de Kirchhoff, una de las principales leyes de la electricidad utilizadas en el an谩lisis de circuitos el茅ctricos y electr贸nicos. El uso de esta herramienta forma parte de los cursos de f铆sica y an谩lisis de circuitos, tanto a nivel de escuela secundaria como en las universidades orientadas a la ense帽anza de la ingenier铆a.
驴Qu茅 es una malla?
En un circuito el茅ctrico, una malla es un camino cerrado formado por elementos de circuitos. En este caso hay 4 mallas, formadas por 4 caminos cerrados.
Seg煤n la Ley de los Voltajes de Kirchhoff,聽la sumatoria de los voltajes en una malla es igual a cero. Recordemos que cuando una corriente pasa por un elemento de circuito, en este caso una resistencia se produce una diferencia de potencial. La Ley de Ohm聽establece que la diferencia de potencial (voltaje) en una resistencia es igual a la corriente por la resistividad del elemento, es decir:
V=IR
Si multiplicamos las corrientes de malla por cada resistencia en la malla, al sumar los voltajes el total debe ser cero.聽Para asumir las corrientes de malla, necesitamos tener en cuenta que en un circuito el茅ctrico la corriente sale del positivo de la fuente y entra por el negativo de la misma.
Si no hay una fuente de voltaje o de corriente en una malla entonces asumimos que la corriente fluye en un sentido horario. Se podr铆a asumir en el sentido anti horario, lo cual no interesa mucho ya que si se escoge un sentido incorrecto la corriente que nos resultar谩 al hacer nuestros c谩lculos tendr谩 signo negativo. Esto lo podremos apreciar al final cuando obtengamos nuestra respuesta.
Las corrientes las debemos representar en nuestro diagrama se la siguiente manera:
Vemos que en la malla 1 se asume que la corriente va en sentido horario ya que sale del positivo de la fuente. En las mallas 2 y 3 no hay fuente, as铆 que se asume libremente (preferiblemente en sentido horario). En la malla 4 la corriente va en sentido anti horario por salir del positivo de la fuente de voltaje.
Luego de escoger el sentido de las corrientes procedemos a colocarle signos de polaridad a las resistencias por cada malla. Las resistencias no poseen polaridad pero para facilitar la resoluci贸n del problema le colocaremos signos. Una vez m谩s debemos tomar en cuenta el sentido de la corriente: para todas las resistencias la terminal donde entra la corriente llevar谩 un signo positivo. Donde sale la corriente de la resistencia se coloca un signo negativo.
Ahora que hemos colocado los signos, se procede a establecer las ecuaciones para cada malla. Con la ayuda de los signos que hemos colocado se nos hace muy f谩cil hacer esto. Veamos.
Malla 1
En la malla 1 est谩 pasando la corriente 1, por lo que es necesario multiplicar todas las resistencias por I1 para obtener los voltajes en las mismas. Se sumar谩n todos los voltajes en todas las resistencias m谩s el voltaje de la fuente y la ecuaci贸n se igualar谩 a cero.
N贸tese que por la resistencia R2 de 220 Ohm hay dos corrientes pasando, la corriente de la malla uno y la corriente de la malla 2.
Para esto se han colocado los signos sobre la resistencia. Como la corriente entra por el positivo en la malla 1, se toma el voltaje de la resistencia por efecto de I1 como positivo. En el mismo punto hay un signo negativo (en verde) en la malla 2 que indica que se debe restar el voltaje de la resistencia por efecto de I2.
Al la ecuaci贸n que nos resulta es la siguiente:
Si reducimos la ecuaci贸n a su m铆nima expresi贸n obtendremos la ecuaci贸n de voltajes de Kirchhoff para la Malla 1.
Ahora procedemos a hacer lo mismo para las mallas 2, 3 y 4.
Malla 2
Reduciendo a su m铆nima expresi贸n:
Malla 3
Como podemos observar, en la resistencia 6 los signos son positivo y positivo (++) por lo que se suma el voltaje en la resistencia provocado por I3 y el provocado por I4.
Al final la ecuaci贸n reducida es la siguiente:
Malla 4
Reduciendo la ecuaci贸n a su m谩s m铆nima expresi贸n:
Resolviendo el sistema de ecuaciones
Una vez hayamos establecido las ecuaciones para cada malla tendremos un sistema de ecuaciones nxn donde n es el n煤mero de mallas.
En este caso tenemos un sistema 4脳4, es decir 4 ecuaciones con 4 inc贸gnitas.
Esto nos permite utilizar cualquier m茅todo conocido para buscar los valores de las inc贸gnitas. Puede ser por reducci贸n, sustituci贸n, determinantes, etc. Yo en lo personal utilizo matrices, espec铆ficamente el m茅todo de Gauss Jordan.
Para ello es necesario llevar todo el sistema a una matriz, donde en la primera columna ir谩n los valores de I1, en la segunda, tercera y cuarta ir谩n I2, I3 e I4 respectivamente. Por 煤ltimo el t茅rmino libre, en este caso los voltajes ir谩n en la 煤ltima columna.
Ahora explicar茅 como resolver este sistema utilizando tres opciones diferentes, el Microsoft Mathematics, Matlab y Excel.
Microsoft Mathematics
El Mathematics es una excelente herramienta gratuita que proporciona Microsoft para nosotros los estudiantes. Se puede descargar gratuitamente desde la siguiente direcci贸n:
http://www.microsoft.com/es-es/download/details.aspx?id=15702
La interfaz es sencilla y f谩cil de usar.
Ahora necesitamos insertar una matriz de n filas por n+1 columnas donde n es el n煤mero de mallas. En este caso ser铆a una matriz de 4脳5.
Ahora se introducen los datos:
Ahora se utiliza la opci贸n reducir que nos aparece en la ventana.
Nos aparecen los resultados en fracci贸n y en decimal. Los n煤meros que se encuentran en la matriz reducida en la columna de la derecha ser谩n los valores de las corrientes.
Ser谩 I1 20.3 mili amperios; I2 es 3.6 mili amperios; I3 es 5.06 mili amperios; I4 es 24.5 mili amperios.
El signo de I3 por ser negativo indica que a la hora de tomar el sentido de la corriente lo hicimos mal: I3 no va en sentido horario sino en sentido anti horario. El procedimiento est谩 perfectamente correcto, solo tomamos mal el sentido. Al final el signo nos indica para d贸nde realmente va la corriente.
Ahora procedemos a comprobar si los resultados obtenidos son correctos. Veamos el simulador.
Los amper铆metros en cada malla indican que el resultado obtenido en nuestros c谩lculos es correcto. En el simulador existen unas peque帽as p茅rdidas pero son insignificantes ya que estamos tratando con corrientes muy peque帽as.
Si utilizamos MatLab, el resultado obtenido debe ser similar.
Matlab
En Matlab declaramos la matriz con las ecuaciones de malla.
Ahora simplemente se aplica el comanto rref() a la matriz que declaramos:
rref(Matrix)
Vemos que el resultado obtenido es muy similar al que nos entreg贸聽Microsoft Mathematics.
Microsoft Excel
Mi estimado amigo Secundino Villarreal, Ingeniero Electromec谩nico y docente de f铆sica en la Universidad Tecnol贸gica de Panam谩 lanz贸聽el sitio web聽excelparaingenieria.com聽en donde constantemente est谩 publicando plantillas dise帽adas en Excel. Hemos utilizado la plantilla聽Gauss Jordan: Ecuaciones Simult谩neas 4 x 4聽para resolver el sistema de ecuaciones de este ejemplo. La plantilla se encuentra disponible de forma gratuita en la web del autor. Cuando la descargamos veremos algo 聽como esto:
Un poco m谩s abajo encontraremos un cuadro donde ingresamos los valores de nuestras ecuaciones. La plantilla ir谩 calculando autom谩ticamente las respuestas del problema al hacer la reducci贸n de Gauss-Jordan.
Como podemos observar, los resultados son iguales a aquellos obtenidos con Microsoft Mathematics y Matlab. El usuario puede escoger la forma como desea que los datos queden visualizados, ya sea en notaci贸n cient铆fica, fracciones, decimales, etc. Como ya dijimos, la plantilla la podemos descargar desde la web del autor.
Usted puede utilizar cualquier calculadora que pueda resolver sistemas de ecuaciones lineales para resolver el sistema. El m茅todo que se use la verdad no importa. Al final lo que determina si el problema est谩 bien o mal es si se hace la sumatoria de los voltajes de forma correcta.
En el siguiente video muestro un resumen del contenido de este post, ahora utilizando una calculadora Texas Instruments Nspire CX CAS.
Problemas resueltos de Leyes de Kirchhoff
En Panama Hitek hemos creado una secci贸n especial para compartir problemas resueltos de teor铆a de circuitos el茅ctricos. Los problemas resueltos poseen diferentes niveles de dificultad y han sido dise帽ados para evaluar conceptos en estudiantes de cursos de ingenier铆a el茅ctrica y disciplinas afines.
Eso es todo por ahora. Esperamos que la informaci贸n presentada sea de utilidad para ustedes.聽Saludos.